Самостоятельная работа. 1 вариант. 1. Треугольник АВС-равносторонний, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС. а) Докажите, что МА-МВ-MC. 6) Найдите МА, если АВ=6 см, МО-2см.

1 вариант

1. Треугольник АВС – равносторонний, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости АВС.

а) Докажите, что МА=МВ=MC.

Доказательство:

Т.к. О – центр равностороннего треугольника АВС, то О – точка пересечения медиан (высот, биссектрис). Следовательно, О – точка равноудаленная от всех вершин треугольника АВС, т.е. ОА = ОВ = ОС.

Рассмотрим треугольники ΔMAO, ΔMBO и ΔMCO. Они прямоугольные, т.к. ОМ перпендикулярна плоскости АВС, т.е. ОМ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

В этих треугольниках катет ОМ – общий, катеты ОА = ОВ = ОС, следовательно, данные треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз, т.е. МА = МВ = МС. Что и требовалось доказать.

б) Найдите МА, если АВ=6 см, МО=2см.

Решение:

Т.к. АВС – равносторонний, то AO = (2/3) * h, где h – высота треугольника АВС.

Высоту h найдем по формуле $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где а – сторона треугольника.

$$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см.

Тогда $$AO = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMAO. В нем $$MA = \sqrt{AO^2 + MO^2}$$.

$$MA = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$$ см.

Ответ: 4 см