Самостоятельная работа. 1 вариант. 1. Треугольник АВС-равносторонний, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС. а) Докажите, что МА-МВ-МС. б) Найдите МА, если АВ=6 см, МО-2см.

1 вариант.

1. Треугольник АВС-равносторонний, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.

а) Докажите, что МА=МВ=МС.

Рассмотрим треугольники ΔАОМ, ΔВОМ и ΔСОМ. Они прямоугольные, так как ОМ перпендикулярна плоскости АВС. АО = ВО = СО, так как О – центр равностороннего треугольника, значит, является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. ОМ – общий катет. Следовательно, треугольники ΔАОМ, ΔВОМ и ΔСОМ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что МА = МВ = МС, что и требовалось доказать.

б) Найдите МА, если АВ=6 см, МО=2см.

Так как АВ = 6 см, то АО = 2/3 * h, где h – высота равностороннего треугольника АВС. Высота равностороннего треугольника равна $$h = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см.

Тогда АО = 2/3 * 3√3 = 2√3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАОМ. По теореме Пифагора:

МА² = АО² + ОМ² = (2√3)² + 2² = 12 + 4 = 16

МА = √16 = 4 см.

Ответ: а) доказано, МА = МВ = МС; б) МА = 4 см.