С2. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD.

Решение:

В правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники. Пусть сторона тетраэдра равна \( a \).

1. Высота тетраэдра DH: Точка H — центр основания BCD. В равностороннем треугольнике BCD медиана BM является также высотой и биссектрисой. Точка H делит медиану BM в отношении 2:1, считая от вершины B.
2. Медиана BM: Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( BM = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
3. Точка H: \( BH = \frac{2}{3} BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \). \( HM = \frac{1}{3} BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \).
4. Рассмотрим треугольник DBH: Это прямоугольный треугольник, так как DH — высота тетраэдра. \( DB = a \) (ребро тетраэдра). \( BH = \frac{a\sqrt{3}}{3} \). \( DH^2 = DB^2 - BH^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \). \( DH = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \).
5. Найдем угол между DH и BM. Проведем через точку H плоскость, перпендикулярную BM. Так как DH перпендикулярна плоскости BCD, DH перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через H, в том числе BM. Однако, DH и BM не лежат в одной плоскости, поэтому нам нужно найти угол между векторами \( \vec{DH} \) и \( \vec{MB} \) (или \( \vec{BM} \)).
6. Перенесем вектор \( \vec{BM} \) так, чтобы он начинался в точке H. Рассмотрим проекцию DH на BM.
7. В правильном тетраэдре высота DH и медиана BM пересекаются под углом. Проще найти этот угол, найдя косинус угла между векторами.
8. Вектор \( \vec{HD} \) направлен вверх, вектор \( \vec{HB} \) направлен от центра основания к вершине B.
9. Угол между DH и BM — это угол между DH и BH (так как BM проходит через H и направлена к B).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник DBH. Угол между DH и DB — это угол, который образует боковое ребро с основанием.
11. Нам нужен угол между DH (высота) и BM (медиана основания). Так как DH перпендикулярна плоскости основания BCD, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку H. Следовательно, DH перпендикулярна BM.
12. Угол между DH и BM равен 90 градусов.

Ответ: 90°