5) В правильной треугольной пирамиде ЅАВС медианы основания АВС пересекаются в точке О. Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS

Решение:

Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

1. Найдем высоту пирамиды \( H \):
   \( 6 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot H \)
   \( 6 = \frac{2}{3} H \)
   \( H = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \)
2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке О, которая является центром основания. Треугольник ABC — правильный, поэтому точка О является и центром описанной окружности, и центром вписанной окружности. Отрезок OS — это апофема (высота боковой грани), которая является медианой равностороннего треугольника.
3. Площадь правильного треугольника \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) — сторона основания.
4. \( 2 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \)
5. \( a^2 = \frac{8}{\sqrt{3}} \)
6. \( a = \sqrt{\frac{8}{\sqrt{3}}} \)
7. Медиана (и высота) правильного треугольника \( m = \frac{a \sqrt{3}}{2} \).
8. \( m = \frac{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{3}}} \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \)
9. Точка О — центр треугольника. Медианы в правильном треугольнике делятся в соотношении 2:1 от вершины. Отрезок OS — это апофема, поэтому нам нужно найти расстояние от центра до середины стороны.
10. Расстояние от центра до середины стороны равно \( \frac{1}{3} m \).
11. \( OS = \frac{1}{3} \sqrt{6} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)