С помощью чертежа попробуй определить, каким свойством связаны радиус вписанной окружности и стороны прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть в прямоугольный треугольник ABC (с прямым углом при вершине C) вписана окружность с центром I и радиусом \( r \). Обозначим стороны треугольника как \( a \) (катет, противолежащий вершине A), \( b \) (катет, противолежащий вершине B), и \( c \) (гипотенуза AB).

Формула, связывающая радиус вписанной окружности \( r \) и стороны прямоугольного треугольника, имеет вид:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Объяснение:

1. Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB будут соответственно D, E и F.
2. Поскольку касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то \( CD = CE = r \) (так как CDIE — квадрат, где I — центр вписанной окружности).
3. Также \( AE = AF \) и \( BD = BF \).
4. Стороны треугольника выражаются через эти отрезки: \( a = BC = BD + CD = BD + r \), \( b = AC = AE + CE = AE + r \), \( c = AB = AF + BF = AE + BD \).
5. Подставим в формулу для \( r \): \( r = \frac{(BD + r) + (AE + r) - (AE + BD)}{2} = \frac{BD + r + AE + r - AE - BD}{2} = \frac{2r}{2} = r \).
6. Отсюда следует, что \( r = \frac{a + b - c}{2} \), что и связывает радиус вписанной окружности с катетами \( a, b \) и гипотенузой \( c \) прямоугольного треугольника.

Ответ: Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы: \( r = \frac{a + b - c}{2} \).