13. Рис. 614. Найти: АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 60 градусов. Тогда угол A равен 90 - 60 = 30 градусов. Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. В данном случае, $$BC = x$$, $$AC = x+1$$. Тогда $$AB = 2BC = 2x$$. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$(2x)^2 = (x+1)^2 + x^2$$ $$4x^2 = x^2 + 2x + 1 + x^2$$ $$4x^2 = 2x^2 + 2x + 1$$ $$2x^2 - 2x - 1 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$ Т.к. $$x$$ должен быть положительным, то $$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$$. Тогда $$AB = 2x = 1 + \sqrt{3}$$. Ответ: $$AB = 1 + \sqrt{3}$$