2. Рис. 720. Дано: САВ: UBC = 11 : 12. Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Решение:

1. Угол ∠BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол ∠BAC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. Следовательно, ∠BOC = 2∠BAC.
2. Дано, что ∠AOC = 130°. Угол ∠BOC = 360° - ∠AOC = 360° - 130° = 230°.
3. Тогда, ∠BAC = ∠BOC / 2 = 230° / 2 = 115°.
4. Рассмотрим вписанный четырехугольник ABOC. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
5. Следовательно, ∠BCA + ∠AOC = 180°. Значит, ∠BCA = 180° - ∠AOC = 180° - 130° = 50°.

Ответ: ∠BCA = 50°, ∠BAC = 115°.

Проверка за 10 секунд: Центральный угол, вписанный четырехугольник, сумма углов.

Читерский прием: Всегда помни, что центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. И свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180°.