4. Окружность с центром О и радиусом 16 см писана около треугольника АВС так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны АВ и ВС тре- угольника.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник OAB. OA = OB = радиусу = 16 см. Следовательно, треугольник OAB равнобедренный.
2. Угол ∠OAB = 30°. Значит, ∠OBA = ∠OAB = 30°.
3. Угол ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 30° - 30° = 120°.
4. По теореме синусов для треугольника OAB: \[\frac{AB}{\sin ∠AOB} = \frac{OA}{\sin ∠OBA}\]
5. Подставим известные значения: \[\frac{AB}{\sin 120°} = \frac{16}{\sin 30°}\]
6. Выразим AB: \[AB = \frac{16 \cdot \sin 120°}{\sin 30°} = \frac{16 \cdot (\sqrt{3}/2)}{1/2} = 16\sqrt{3}\]
7. Теперь рассмотрим треугольник OCB. OC = OB = радиусу = 16 см. Следовательно, треугольник OCB равнобедренный.
8. Угол ∠OCB = 45°. Значит, ∠OBC = ∠OCB = 45°.
9. Угол ∠BOC = 180° - ∠OCB - ∠OBC = 180° - 45° - 45° = 90°.
10. По теореме синусов для треугольника OCB: \[\frac{BC}{\sin ∠BOC} = \frac{OC}{\sin ∠OBC}\]
11. Подставим известные значения: \[\frac{BC}{\sin 90°} = \frac{16}{\sin 45°}\]
12. Выразим BC: \[BC = \frac{16 \cdot \sin 90°}{\sin 45°} = \frac{16 \cdot 1}{\sqrt{2}/2} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2}\]

Ответ: AB = 16√3 см, BC = 16√2 см.

Проверка за 10 секунд: Равнобедренные треугольники, теорема синусов.

Редфлаг: Убедись, что правильно используешь теорему синусов и учитываешь, что треугольники равнобедренные, что упрощает вычисления.