8. Рис. 609. Дано: АВМН – прямоугольник. Найти: ВН.

Для решения задачи по рисунку 609, нужно найти BH. Из рисунка видно, что ABMH - прямоугольник, и AK - диагональ прямоугольника, которая равна 8. Также известно, что KH = $$4\sqrt{5}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKH. В нем известны катет KH и гипотенуза AK. Используем теорему Пифагора для нахождения катета AH: $$AK^2 = AH^2 + KH^2$$ $$8^2 = AH^2 + (4\sqrt{5})^2$$ $$64 = AH^2 + 16 \cdot 5$$ $$64 = AH^2 + 80$$ $$AH^2 = 64 - 80$$ $$AH^2 = -16$$ Произошла ошибка. Длина стороны в прямоугольнике не может быть отрицательной. Вероятно, в условии есть опечатка, и KH – это не катет, а диагональ, либо же AK не равна 8. Предположим, что AK и KH - это стороны прямоугольника, тогда BH = AK. Если AK = $$4\sqrt{5}$$, а AH = 8, то $$AH^2 + AK^2 = KH^2$$ $$8^2 + (4\sqrt{5})^2 = KH^2$$ $$64 + 80 = KH^2$$ $$KH^2 = 144$$ $$KH = 12$$ Тогда BH = AK = $$4\sqrt{5}$$ Ответ: BH = $$4\sqrt{5}$$