3) Рис. 4.16. Дано: △ACE - равносторонний. Найти: ∠AFB.

Так как треугольник ACE равносторонний, то все его углы равны 60 градусам. Поскольку AC = CE = AE, а стороны AB и DE тоже равны между собой (указано на рисунке двумя штрихами), то треугольники ABC и CDE равны по двум сторонам и углу между ними (AC=CE, AB=DE и ∠A = ∠E = 60°). Из равенства треугольников следует, что CB = CD. Значит, треугольник BCD - равнобедренный. Угол ACB = 60°. Так как ∠ACB = 60°, то ∠BCD = ∠ACE - ∠ACB - ∠ECD = 60 - ∠ACB - ∠ECD = 60-2*∠ACB. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. То есть, ∠CBD = ∠CDB = (180 - ∠BCD) / 2 = (180 - (60-2*∠ACB)) / 2 = 60 +∠ACB. Угол AFB является внешним углом треугольника BFC и равен сумме углов FCB и CBF. То есть ∠AFB = ∠FCB + ∠CBF = ∠ACB+60 +∠ACB=60 +2*∠ACB. Учитывая, что углы ACB=ECD, то ∠BCD = 60- 2*∠ACB. Для упрощения дальнейшего вычисления положим ∠ACB = x. Тогда ∠CBD = (180- ∠BCD)/2 = (180 - (60- 2*x))/2 = 60+x. ∠AFB = ∠ACF+∠CBF = x+(60+x) = 60+2x Так как треугольник ABC = EDC, то ∠CAB = ∠DEC, ∠ABC = ∠EDC и ∠ACB = ∠DCE. ∠AFB=90°