2. Решите задачу. Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр – 18 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Тогда, согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

• $$a^2 + b^2 = 45$$
• $$2(a + b) = 18$$

Из второго уравнения выразим (a + b):

• $$a + b = \frac{18}{2} = 9$$

Теперь выразим a через b:

• $$a = 9 - b$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

• $$(9 - b)^2 + b^2 = 45$$

Раскроем скобки:

• $$81 - 18b + b^2 + b^2 = 45$$

Приведем подобные члены:

• $$2b^2 - 18b + 36 = 0$$

Разделим уравнение на 2:

• $$b^2 - 9b + 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b:

• Найдем дискриминант: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$$
• Корни уравнения: $$b_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6$$ и $$b_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3$$

Найдем значения a для каждого из b:

• Если $$b = 6$$, то $$a = 9 - 6 = 3$$
• Если $$b = 3$$, то $$a = 9 - 3 = 6$$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см.

Ответ: 3 см и 6 см