Решите задачу 2: Через вершины A и B ромба ABCD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥ AB. a) Докажите, что A₁A ⊥ ABCD. б) Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.

**а) Докажите, что A₁A ⊥ ABCD.** По условию, $$AA_1 || BB_1$$. Также дано, что $$BB_1 ⊥ BC$$ и $$BB_1 ⊥ AB$$. Поскольку $$AA_1 || BB_1$$, то $$AA_1 ⊥ BC$$ и $$AA_1 ⊥ AB$$. Так как $$AA_1$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$BC$$, лежащим в плоскости $$ABCD$$, то $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$. **Доказательство:** 1. $$AA_1 || BB_1$$ (по условию). 2. $$BB_1 ⊥ BC$$ (по условию). 3. $$BB_1 ⊥ AB$$ (по условию). 4. Следовательно, $$AA_1 ⊥ BC$$ и $$AA_1 ⊥ AB$$. 5. $$AB$$ и $$BC$$ лежат в плоскости $$ABCD$$ и пересекаются в точке $$B$$. 6. Следовательно, $$AA_1 ⊥ ABCD$$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). **б) Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.** Так как $$ABCD$$ - ромб, то его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$. Тогда $$BO = rac{1}{2}BD = rac{1}{2} cdot 16 = 8$$ см. В прямоугольном треугольнике $$ABO$$ найдем $$AO$$ по теореме Пифагора: $$AO = sqrt{AB^2 - BO^2} = sqrt{10^2 - 8^2} = sqrt{100 - 64} = sqrt{36} = 6$$ см. Следовательно, $$AC = 2 cdot AO = 2 cdot 6 = 12$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$. По теореме Пифагора: $$A_1C^2 = AA_1^2 + AC^2$$ $$13^2 = AA_1^2 + 12^2$$ $$169 = AA_1^2 + 144$$ $$AA_1^2 = 169 - 144 = 25$$ $$AA_1 = sqrt{25} = 5$$ см. **Ответ:** $$AA_1 = 5$$ см.