4. Решите уравнения: А) (2 балла) x3 - 3x2 - 6x + 18 = 0; Б) (2 балла) (x2 – 5x + 7)² - 2(x - 2)(x - 3) = 1.

Ответ: А) x = √6, x = -√6, x = 3; Б) x = 2, x = 3

А) Решение уравнения: x³ - 3x² - 6x + 18 = 0

1. Шаг 1: Группировка членов: Сгруппируем члены уравнения: \[(x^3 - 3x^2) + (-6x + 18) = 0\]
2. Шаг 2: Вынесение общего множителя: Вынесем общий множитель из каждой группы: \[x^2(x - 3) - 6(x - 3) = 0\]
3. Шаг 3: Общий множитель (x - 3): Вынесем общий множитель \((x - 3)\): \[(x - 3)(x^2 - 6) = 0\]
4. Шаг 4: Решение уравнения: Приравняем каждый множитель к нулю: \[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\] \[x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}\]
5. Шаг 5: Ответ: Корни уравнения: \(x = 3, x = \sqrt{6}, x = -\sqrt{6}\)

Б) Решение уравнения: (x² – 5x + 7)² - 2(x - 2)(x - 3) = 1

1. Шаг 1: Упрощение выражения: Раскроем скобки: \[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x^2 - 5x + 6) = 1\]
2. Шаг 2: Замена переменной: Пусть \(t = x^2 - 5x + 7\), тогда \(x^2 - 5x + 6 = t - 1\). Уравнение примет вид: \[t^2 - 2(t - 1) = 1\] \[t^2 - 2t + 2 = 1\] \[t^2 - 2t + 1 = 0\]
3. Шаг 3: Решение квадратного уравнения относительно t: \[(t - 1)^2 = 0\] \[t = 1\]
4. Шаг 4: Возврат к исходной переменной: Подставим \(t = 1\) в \(x^2 - 5x + 7 = t\): \[x^2 - 5x + 7 = 1\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\]
5. Шаг 5: Решение квадратного уравнения относительно x: Разложим на множители: \[(x - 2)(x - 3) = 0\] \[x = 2, x = 3\]

Ответ: А) x = √6, x = -√6, x = 3; Б) x = 2, x = 3