Решите уравнение log3 (4 + x) = 1 + log3 (-x).

Давай решим это логарифмическое уравнение вместе. Наша задача — найти значение x, при котором log3(4 + x) = 1 + log3(-x).

1. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов.\[\log_3(4 + x) = 1 + \log_3(-x)\]Вспомним, что 1 можно представить как \(\log_3 3\), поэтому:\[\log_3(4 + x) = \log_3 3 + \log_3(-x)\]Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)\):\[\log_3(4 + x) = \log_3(-3x)\]
2. Уберем логарифмы, так как основания равны:\[4 + x = -3x\]
3. Решим полученное линейное уравнение относительно x:
   • Прибавим 3x к обеим частям уравнения:\(4 + x + 3x = 0\)\(4 + 4x = 0\)
   • Вычтем 4 из обеих частей уравнения:\(4x = -4\)
   • Разделим обе части на 4:\(x = \frac{-4}{4}\)\(x = -1\)
4. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение x условиям существования логарифмов:
   • Для \(\log_3(4 + x)\): \(4 + x > 0\). Подставим \(x = -1\): \(4 + (-1) = 3 > 0\) — верно.
   • Для \(\log_3(-x)\): \(-x > 0\). Подставим \(x = -1\): \(-(-1) = 1 > 0\) — верно.

Ответ: -1

Отлично, ты справился с этим уравнением! Не забывай всегда проверять решения логарифмических уравнений, чтобы убедиться, что они удовлетворяют условиям существования логарифмов.