Решите неравенство √2х+6 <√х²+6. В ответе укажите количество целых решений неравенства, принадлежащих отрезку [-10;10].

Давай решим это неравенство с квадратными корнями вместе. Наша задача — найти количество целых решений неравенства \(\sqrt{2x+6} < \sqrt{x^2+6}\), принадлежащих отрезку \([-10; 10]\).

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
   • Подкоренное выражение \(2x + 6\) должно быть неотрицательным:\[2x + 6 \ge 0\]\[2x \ge -6\]\[x \ge -3\]
   • Подкоренное выражение \(x^2 + 6\) всегда положительно, так как \(x^2 \ge 0\) для любого x, и следовательно \(x^2 + 6 \ge 6 > 0\).
   Таким образом, ОДЗ: \(x \ge -3\).
2. Решим неравенство. Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе части неотрицательны):\[(\sqrt{2x+6})^2 < (\sqrt{x^2+6})^2\]\[2x + 6 < x^2 + 6\]
3. Перенесем все члены в правую часть неравенства:\[0 < x^2 - 2x\]\[x^2 - 2x > 0\]
4. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 2x = 0\): \[x(x - 2) = 0\] Корни: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2\). Определим знаки квадратного трехчлена на интервалах:
   • \(x < 0\): \(x^2 - 2x > 0\) (например, при \(x = -1\): \((-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 > 0\))
   • \(0 < x < 2\): \(x^2 - 2x < 0\) (например, при \(x = 1\): \(1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 < 0\))
   • \(x > 2\): \(x^2 - 2x > 0\) (например, при \(x = 3\): \(3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 > 0\))
   Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 2x > 0\) — это \(x < 0\) или \(x > 2\).
5. Учтем ОДЗ. Решением неравенства является пересечение полученного решения с ОДЗ \(x \ge -3\). Таким образом, у нас есть два интервала:
   • \([-3; 0)\) (x больше или равен -3, но меньше 0)
   • \((2; +\infty)\) (x больше 2)
6. Найдем целые решения на отрезке \([-10; 10]\). Целые решения на отрезке \([-10; 10]\):
   • На интервале \([-3; 0)\): \(-3, -2, -1\)
   • На интервале \((2; +\infty)\): \(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\)
   Всего целых решений: 3 + 8 = 11.

Ответ: 11

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Не забывай, что важно учитывать ОДЗ и правильно определять интервалы решений для квадратных неравенств.