581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² – 2x – 9 = 0; б) 3x² – 4x – 4 = 0;

Решение:

а) $$x^2-2x-9=0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$.

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$.

Проверка по обратной теореме Виета:

Сумма корней:

$$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 1 + 1 = 2$$

Произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10}) \cdot (1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9$$

б) $$3x^2-4x-4=0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$.

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = - \frac{2}{3}$$.

Проверка по обратной теореме Виета:

Сумма корней:

$$x_1 + x_2 = 2 + (- \frac{2}{3}) = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3}$$.

Произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$$.

Ответ: смотри решение