Решите уравнение $$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3$$.

Решение:

1. Найдем общий знаменатель для дробей: \( x(x-2) \).
2. Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{6x}{x(x-2)} + \frac{5(x-2)}{x(x-2)} = \frac{3x(x-2)}{x(x-2)} \]
3. Умножим обе части уравнения на \( x(x-2) \), предполагая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \): \[ 6x + 5(x-2) = 3x(x-2) \]
4. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 6x + 5x - 10 = 3x^2 - 6x \] \[ 11x - 10 = 3x^2 - 6x \]
5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 3x^2 - 6x - 11x + 10 = 0 \] \[ 3x^2 - 17x + 10 = 0 \]
6. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169 \]
7. Найдём корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
8. Проверим, что найденные корни не равны 0 и 2. Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = \(\frac{2}{3}\)