При каких значениях x имеет смысл выражение $$\sqrt{\frac{11-x}{2-x}}$$?

Решение:

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. Условие для знаменателя: \( 2 - x \neq 0 \) \( \implies x \neq 2 \).

2. Условие неотрицательности подкоренного выражения: \( \frac{11-x}{2-x} \ge 0 \).

Рассмотрим два случая для выполнения неравенства:

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны (или числитель равен нулю).

• \( 11 - x \ge 0 \) \( \implies x \le 11 \)
• \( 2 - x > 0 \) \( \implies x < 2 \)

Объединяя эти условия, получаем: \( x < 2 \).

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны.

• \( 11 - x \le 0 \) \( \implies x \ge 11 \)
• \( 2 - x < 0 \) \( \implies x > 2 \)

Объединяя эти условия, получаем: \( x \ge 11 \).

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что выражение имеет смысл при \( x < 2 \) или \( x \ge 11 \).

Ответ: x < 2 или x \(\ge\) 11