Решите уравнение \( \frac{1}{x} + \frac{2}{x+2} = 1 \).

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю \( x(x+2) \): \[ \frac{1(x+2)}{x(x+2)} + \frac{2x}{x(x+2)} = 1 \]
2. Объединим дроби: \[ \frac{x+2+2x}{x(x+2)} = 1 \]
3. Упростим числитель: \[ \frac{3x+2}{x(x+2)} = 1 \]
4. Умножим обе части на \( x(x+2) \), учитывая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \): \[ 3x+2 = x(x+2) \]
5. Раскроем скобки: \[ 3x+2 = x^2 + 2x \]
6. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x - 3x - 2 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
8. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
9. Проверим, что корни не равны \( 0 \) и \( -2 \). Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 2, x_2 = -1 \).