Докажите тождество \( \frac{b(b + a)^2}{b^4 - a^4} - \frac{a}{b^2 + a^2} = \frac{1}{b - a} \).

Решение:

Докажем тождество, преобразовав левую часть к правой.

Начнём с левой части:

\[ L.Ch. = \frac{b(b + a)^2}{b^4 - a^4} - \frac{a}{b^2 + a^2} \]

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: \( b^4 - a^4 = (b^2)^2 - (a^2)^2 = (b^2 - a^2)(b^2 + a^2) \).

Заменим знаменатель:

\[ L.Ch. = \frac{b(b + a)^2}{(b^2 - a^2)(b^2 + a^2)} - \frac{a}{b^2 + a^2} \]

Разложим \( b^2 - a^2 \) по формуле разности квадратов: \( b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) \).

\[ L.Ch. = \frac{b(b + a)^2}{(b - a)(b + a)(b^2 + a^2)} - \frac{a}{b^2 + a^2} \]

Сократим \( (b + a) \) в первой дроби (при условии \( b+a \neq 0 \)):

\[ L.Ch. = \frac{b(b + a)}{(b - a)(b^2 + a^2)} - \frac{a}{b^2 + a^2} \]

Приведём вторую дробь к общему знаменателю \( (b - a)(b^2 + a^2) \):

\[ L.Ch. = \frac{b(b + a)}{(b - a)(b^2 + a^2)} - \frac{a(b - a)}{(b - a)(b^2 + a^2)} \]

Объединим дроби:

\[ L.Ch. = \frac{b(b + a) - a(b - a)}{(b - a)(b^2 + a^2)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ L.Ch. = \frac{b^2 + ab - ab + a^2}{(b - a)(b^2 + a^2)} \]

Упростим числитель:

\[ L.Ch. = \frac{b^2 + a^2}{(b - a)(b^2 + a^2)} \]

Сократим \( b^2 + a^2 \) (при условии \( b^2+a^2 \neq 0 \), что всегда верно для действительных \( a \) и \( b \), если они не равны нулю одновременно):

\[ L.Ch. = \frac{1}{b - a} \]

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.