Решите уравнение √4x²-1+√2x²+7x-4=0.

Решим уравнение $$\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{2x^2+7x-4}=0$$.

ОДЗ:$$\begin{cases}4x^2-1 \ge 0\\2x^2+7x-4 \ge 0\end{cases}$$.

Так как сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое из них равно нулю. Следовательно:

$$\begin{cases}\sqrt{4x^2-1}=0\\\sqrt{2x^2+7x-4}=0\end{cases}$$

$$\begin{cases}4x^2-1=0\\2x^2+7x-4=0\end{cases}$$

Решим первое уравнение:

$$4x^2-1=0$$

$$4x^2=1$$

$$x^2=\frac{1}{4}$$

$$x_1=\frac{1}{2}; x_2=-\frac{1}{2}$$

Решим второе уравнение:

$$2x^2+7x-4=0$$

$$D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32=81$$

$$x_1 = \frac{-7+9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-7-9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$$

Общий корень: $$x = \frac{1}{2}$$.

Проверим, входит ли $$x = \frac{1}{2}$$ в ОДЗ.

1) $$4 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 1 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 1-1 = 0 \ge 0$$

2) $$2 \cdot (\frac{1}{2})^2 + 7 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{7}{2} - 4 = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 4 = \frac{8}{2} - 4 = 4-4 = 0 \ge 0$$

Следовательно, $$x = \frac{1}{2}$$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: $$\frac{1}{2}$$