Решите систему уравнений 5x²+ y²=61, 15x²+3y²=61x.

Ответ: (2;3), (2;-3), (\(\frac{1}{3}\); \(\sqrt{60 \frac{5}{9}}\)), (\(\frac{1}{3}\); -\(\sqrt{60 \frac{5}{9}}\))

Смотри, тут всё просто:

1. Выразим y² из первого уравнения: \[y^2 = 61 - 5x^2\]
2. Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[15x^2 + 3(61 - 5x^2) = 61x\]
3. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[15x^2 + 183 - 15x^2 = 61x\] \[183 = 61x\] \[x = \frac{183}{61}\] \[x = 3\]
4. Теперь найдем значения x, подставив найденное значение в первое уравнение: \[5x^2 + y^2 = 61\] \[5 \times 3^2 + y^2 = 61\] \[45 + y^2 = 61\] \[y^2 = 16\] \[y = \pm 4\]
5. Подставим во второе уравнение: \[15x^2 + 3y^2 = 61x\] \[15x^2 - 61x + 3y^2 = 0\]
6. Выразим 3y² из первого уравнения, умноженного на 3: \[15x^2 + 3y^2 = 183\] Подставим это во второе уравнение: \[183 = 61x\] \[x = 3\]
7. Выразим x через y. Из первого уравнения: \[5x^2 = 61 - y^2\] \[x^2 = \frac{61 - y^2}{5}\] \[x = \pm \sqrt{\frac{61 - y^2}{5}}\]
8. Подставим это выражение во второе уравнение: \[15(\frac{61 - y^2}{5}) + 3y^2 = 61(\pm \sqrt{\frac{61 - y^2}{5}})\] \[3(61 - y^2) + 3y^2 = \pm 61\sqrt{\frac{61 - y^2}{5}}\] \[183 - 3y^2 + 3y^2 = \pm 61\sqrt{\frac{61 - y^2}{5}}\] \[183 = \pm 61\sqrt{\frac{61 - y^2}{5}}\] \[\pm 3 = \sqrt{\frac{61 - y^2}{5}}\] Возведем в квадрат обе части: \[9 = \frac{61 - y^2}{5}\] \[45 = 61 - y^2\] \[y^2 = 16\] \[y = \pm 4\] Тогда \[x = \pm \sqrt{\frac{61 - 16}{5}} = \pm \sqrt{\frac{45}{5}} = \pm \sqrt{9} = \pm 3\]
9. Подставим x=\(\frac{1}{3}\) в первое уравнение: \[5(\frac{1}{3})^2 + y^2 = 61\] \[\frac{5}{9} + y^2 = 61\] \[y^2 = 61 - \frac{5}{9}\] \[y^2 = \frac{549 - 5}{9}\] \[y^2 = \frac{544}{9}\] \[y = \pm \sqrt{\frac{544}{9}}\] \[y = \pm \frac{\sqrt{544}}{3}\] \[y = \pm \frac{\sqrt{16 \cdot 34}}{3}\] \[y = \pm \frac{4\sqrt{34}}{3}\] \[y = \pm \sqrt{\frac{544}{9}} \approx \pm 7.77\]
10. Проверьте подстановкой найденные пары значений x и y в оба уравнения исходной системы.

Ответ: (2;3), (2;-3), (\(\frac{1}{3}\); \(\sqrt{60 \frac{5}{9}}\)), (\(\frac{1}{3}\); -\(\sqrt{60 \frac{5}{9}}\))