Решите систему уравнений {x²+ y² = 37, ху = 6.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 37 \\ xy = 6 \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения:

$$y = \frac{6}{x}$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2 + (\frac{6}{x})^2 = 37$$

$$x^2 + \frac{36}{x^2} = 37$$

$$x^4 + 36 = 37x^2$$

$$x^4 - 37x^2 + 36 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$, тогда

$$t^2 - 37t + 36 = 0$$

$$D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2$$

$$t_1 = \frac{37 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36$$

$$t_2 = \frac{37 - 35}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Тогда $$x^2 = 36$$ или $$x^2 = 1$$

$$x_1 = 6, x_2 = -6, x_3 = 1, x_4 = -1$$

Найдем y:

$$y_1 = \frac{6}{x_1} = \frac{6}{6} = 1$$

$$y_2 = \frac{6}{x_2} = \frac{6}{-6} = -1$$

$$y_3 = \frac{6}{x_3} = \frac{6}{1} = 6$$

$$y_4 = \frac{6}{x_4} = \frac{6}{-1} = -6$$

Ответ: $$\begin{cases} x_1 = 6, y_1 = 1 \\ x_2 = -6, y_2 = -1 \\ x_3 = 1, y_3 = 6 \\ x_4 = -1, y_4 = -6 \end{cases}$$