424. Решите систему неравенств: x²-x-6 ≤ 0, 1) x > 0; 3) 6x - x² < 0; 2x²-11x-6 ≥ 0, x²-x-12 ≥ 0, 2) 4) x + 4 ≥ 0; (x² + 3x-10 < 0.

Решим систему неравенств.

1) $$ \begin{cases} x^2-x-6 \le 0 \\ x > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$$ x^2-x-6 \le 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения $$ x^2-x-6 = 0 $$

По теореме Виета:

$$ \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} $$

$$ x_1 = 3, x_2 = -2 $$

Тогда $$ x^2-x-6 = (x-3)(x+2) $$

Решим неравенство методом интервалов:

$$ (x-3)(x+2) \le 0 $$

Отметим на числовой прямой точки -2 и 3, они разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty; -2], [-2; 3], [3; +\infty)$$.

Определим знаки на каждом из интервалов:

$$ x \in [-2; 3] $$

Решим второе неравенство системы: $$ x > 0 $$

$$ x \in (0; +\infty) $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in (0; 3] $$

3) $$6x-x^2 < 0$$

$$x(6-x) < 0$$

$$x(x-6) > 0$$

$$x_1=0, x_2=6$$

        +               -             +
------(0)-------------(6)-------->

$$x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$$

2) $$ \begin{cases} 2x^2-11x-6 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство $$ 2x^2-11x-6 \ge 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена $$ 2x^2-11x-6 = 0 $$

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$$

$$x_1 = \frac{11+13}{4} = \frac{24}{4} = 6$$

$$x_2 = \frac{11-13}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$$

$$2x^2-11x-6 = 2(x-6)(x+0.5)$$

Решим неравенство методом интервалов:

$$2(x-6)(x+0.5) \ge 0$$

         +                -                +
------(-0.5)--------------(6)-------->

$$x \in (-\infty; -0.5] \cup [6; +\infty)$$

Решим второе неравенство: $$ x+4 \ge 0 $$

$$ x \ge -4 $$

$$ x \in [-4; +\infty) $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in [-4; -0.5] \cup [6; +\infty) $$

4) $$ \begin{cases} x^2-x-12 \ge 0 \\ x^2+3x-10 < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство $$ x^2-x-12 \ge 0 $$

$$ x^2-x-12 = 0 $$

По теореме Виета:

$$ \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases} $$

$$x_1 = 4, x_2 = -3$$

$$ (x-4)(x+3) \ge 0 $$

          +           -             +
-------(-3)---------(4)-------->

$$x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$$

Решим второе неравенство $$ x^2+3x-10 < 0 $$

$$ x^2+3x-10 = 0 $$

По теореме Виета:

$$ \begin{cases} x_1+x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases} $$

$$ x_1 = 2, x_2 = -5 $$

$$ (x-2)(x+5) < 0 $$

          +           -             +
-------(-5)---------(2)-------->

$$ x \in (-5; 2) $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in (-5; -3] $$

Ответ: 1) $$\in (0; 3]$$ 2) $$\in [-4; -0.5] \cup [6; +\infty)$$ 3) $$\in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$$ 4) $$\in (-5; -3]$$