426. Найдите целые решения системы неравенств: 1) (-2x2 – 5x + 18 ≥ 0, x² + 4x-5 ≤ 0; x² - (√5-3)x - 3√5 ≤ 0, 2) x² + x > 0.

Решим систему неравенств.

1) $$ \begin{cases} -2x^2-5x+18 \ge 0 \\ x^2+4x-5 \le 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $$ -2x^2-5x+18 \ge 0 $$

$$ 2x^2+5x-18 \le 0 $$

$$ 2x^2+5x-18 = 0 $$

$$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $$

$$ x_1 = \frac{-5+13}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$

$$ x_2 = \frac{-5-13}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5 $$

Решим неравенство методом интервалов:

$$ 2(x-2)(x+4.5) \le 0 $$

           +           -            +
-------(-4.5)--------(2)-------->

$$ x \in [-4.5; 2] $$

Решим второе неравенство системы: $$ x^2+4x-5 \le 0 $$

$$ x^2+4x-5 = 0 $$

По теореме Виета:

$$ \begin{cases} x_1+x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases} $$

$$ x_1 = 1, x_2 = -5 $$

Решим неравенство методом интервалов:

$$ (x-1)(x+5) \le 0 $$

          +          -             +
-------(-5)--------(1)-------->

$$ x \in [-5; 1] $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in [-4.5; 1] $$

Целые решения $$ \{-4; -3; -2; -1; 0; 1\} $$

2) $$ \begin{cases} x^2-(\sqrt{5}-3)x - 3\sqrt{5} \le 0 \\ x^2+x > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $$ x^2-(\sqrt{5}-3)x - 3\sqrt{5} \le 0 $$

$$ x^2-(\sqrt{5}-3)x - 3\sqrt{5} = 0 $$

$$ D = (\sqrt{5}-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3\sqrt{5}) = 5 - 6\sqrt{5} + 9 + 12\sqrt{5} = 14 + 6\sqrt{5} = (3+\sqrt{5})^2 $$

$$ x_1 = \frac{\sqrt{5}-3 + 3+\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} $$

$$ x_2 = \frac{\sqrt{5}-3 - 3-\sqrt{5}}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Решим неравенство методом интервалов:

$$ (x-\sqrt{5})(x+3) \le 0 $$

          +           -              +
-------(-3)---------(√5)-------->

$$ x \in [-3; \sqrt{5}] $$

Решим второе неравенство системы: $$ x^2+x > 0 $$

$$ x(x+1) > 0 $$

$$ x_1 = 0, x_2 = -1 $$

Решим неравенство методом интервалов:

          +           -             +
-------(-1)---------(0)-------->

$$ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in [-3; -1) \cup (0; \sqrt{5}] $$

Целые решения $$ \{-3; -2; 1; 2\} $$

Ответ: 1) $$\{-4; -3; -2; -1; 0; 1\}$$ 2) $$\{-3; -2; 1; 2\}$$