425. Решите систему неравенств: -6x²+13x-5 ≤ 0, 1) 6-2x > 0; x²-7x-18 < 0, 2) 5x - x² ≤ 0.

Решим систему неравенств.

1) $$ \begin{cases} -6x^2+13x-5 \le 0 \\ 6-2x > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $$ -6x^2+13x-5 \le 0 $$

$$ 6x^2-13x+5 \ge 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения $$ 6x^2-13x+5 = 0 $$

$$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2 $$

$$ x_1 = \frac{13+7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$

$$ x_2 = \frac{13-7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5 $$

$$ 6(x-\frac{5}{3})(x-\frac{1}{2}) \ge 0 $$

Решим неравенство методом интервалов:

          +                  -                +
-----(1/2)-------------(5/3)--------->

$$ x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty) $$

Решим второе неравенство системы: $$ 6-2x > 0 $$

$$ -2x > -6 $$

$$ x < 3 $$

$$ x \in (-\infty; 3) $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3) $$

2) $$ \begin{cases} x^2-7x-18 < 0 \\ 5x-x^2 \le 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $$ x^2-7x-18 < 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения $$ x^2-7x-18 = 0 $$

По теореме Виета:

$$ \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} $$

$$ x_1 = 9, x_2 = -2 $$

Решим неравенство методом интервалов:

$$ (x-9)(x+2) < 0 $$

          +           -             +
-------(-2)---------(9)-------->

$$ x \in (-2; 9) $$

Решим второе неравенство системы: $$ 5x-x^2 \le 0 $$

$$ x(5-x) \le 0 $$

$$ x(x-5) \ge 0 $$

$$ x_1 = 0, x_2 = 5 $$

Решим неравенство методом интервалов:

          +           -             +
-------(0)---------(5)-------->

$$ x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty) $$

Найдем пересечение решений неравенств:

$$ x \in (-2; 0] \cup [5; 9) $$

Ответ: 1) $$\in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$$ 2) $$\in (-2; 0] \cup [5; 9)$$