10. Решите равенство (х² – 4x)² + 10(x² – 4x) + 21 ≥ 0.

Ответ: x ≤ -1 или x ≥ 5 или x = 2

1. Заменим переменную:

Пусть y = x² – 4x, тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + 10y + 21 \ge 0\]

2. Решим квадратное уравнение относительно y:

\[y^2 + 10y + 21 = 0\]

Дискриминант:

\[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\]\[y_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 4}{2} = -3\]\[y_2 = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 4}{2} = -7\]

Корни: y₁ = -3 и y₂ = -7.

3. Решим неравенство относительно y:

\[(y + 3)(y + 7) \ge 0\]

Интервалы: (-∞; -7], [-7; -3], [-3; +∞).

4. Определим знак выражения на каждом интервале:

• y = -8: (-8 + 3)(-8 + 7) = (-5)(-1) = 5 > 0

• y = -4: (-4 + 3)(-4 + 7) = (-1)(3) = -3 < 0

• y = 0: (0 + 3)(0 + 7) = 21 > 0

Таким образом, y ≤ -7 или y ≥ -3.

5. Вернемся к исходной переменной x:

• Случай 1: y ≤ -7, то есть x² - 4x ≤ -7

  \[x^2 - 4x + 7 \le 0\]\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 < 0\]

  Нет решений.

• Случай 2: y ≥ -3, то есть x² - 4x ≥ -3

  \[x^2 - 4x + 3 \ge 0\]

  Найдем корни:

  \[x^2 - 4x + 3 = 0\]\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]\[x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3\]\[x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

  Корни: x₁ = 3 и x₂ = 1.

  Решением будет x ≤ 1 или x ≥ 3.

Теперь рассмотрим случай, когда y=-3:

\[x^2 - 4x = -3\]\[x^2 - 4x + 3 = 0\]\[x_1=3, x_2=1\]

И случай, когда y=-7:

\[x^2 - 4x = -7\]\[x^2 - 4x + 7 = 0\]

Нет решений, так как D<0.

Необходимо также учитывать условие, что (x² – 4x)² + 10(x² – 4x) + 21 =0. То есть, корни исходного уравнения.

\[(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4x + 7) = 0\]

Первый случай, когда x² – 4x + 3 = 0, мы уже рассмотрели. Второй случай, когда x² – 4x + 7 = 0, не имеет решений.

Решением исходного неравенства будут x ≤ 1 или x ≥ 3, а также корни уравнения x² – 4x + 3 = 0, то есть x=1 и x=3.

Рассмотрим случай, когда x²-4x = -7:

\[x^2 - 4x + 7 = 0\]

У этого квадратного уравнения дискриминант D = (-4)² - 4*1*7 = 16-28 = -12, то есть корней нет.

Рассмотрим случай, когда x²-4x = -3:

\[x^2 - 4x + 3 = 0\]

Корни этого уравнения: x=1 и x=3.

Но и при x=2, x²-4x = -4:

\[(-4)^2 + 10(-4) + 21 = 16 - 40 + 21 = -3\]

Решением будет x ≤ 1 или x ≥ 3 или x = 2.

Ответ: x ≤ 1 или x ≥ 3