7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение √13x – 6x² – 5?

Ответ: x ∈ [5/6; 1]

1. Решим неравенство:

\[13x - 6x^2 - 5 \ge 0\]\[-6x^2 + 13x - 5 \ge 0\]

2. Найдем корни уравнения:

\[-6x^2 + 13x - 5 = 0\]\[D = 13^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-5) = 169 - 120 = 49\]\[x_1 = \frac{-13 + \sqrt{49}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-13 + 7}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}\]\[x_2 = \frac{-13 - \sqrt{49}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-13 - 7}{-12} = \frac{-20}{-12} = \frac{5}{3}\]\[x_1 = 1\]\[x_2 = \frac{5}{6}\]

Корни: x = 1 и x = 5/6.

3. Определим интервалы:

Интервалы: (-∞; 5/6], [5/6; 1], [1; +∞).

4. Проверим знак функции на каждом интервале:

• Возьмем x = 0 из интервала (-∞; 5/6): -6(0)² + 13(0) - 5 = -5 < 0

• Возьмем x = 0.8 из интервала (5/6; 1): -6(0.8)² + 13(0.8) - 5 = -3.84 + 10.4 - 5 = 1.56 > 0

• Возьмем x = 2 из интервала (1; +∞): -6(2)² + 13(2) - 5 = -24 + 26 - 5 = -3 < 0

5. Запишем решение:

Так как нам нужно -6x² + 13x - 5 ≥ 0, выбираем интервал, где функция положительна или равна нулю: x ∈ [5/6; 1].

Ответ: x ∈ [5/6; 1]