5. Решите нер ство: а) (5-х) (x²+x-30) ≥ 0. б) \frac{- 12}{4-8x-5x^2}≤0

Решим каждое неравенство по отдельности.

а) (5 - x)(x² + x - 30) ≥ 0

Сначала разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем корни уравнения x² + x - 30 = 0.

По теореме Виета: x₁ + x₂ = -1, x₁ ⋅ x₂ = -30. Корни: x₁ = -6, x₂ = 5.

Значит, x² + x - 30 = (x + 6)(x - 5).

Теперь неравенство можно записать как (5 - x)(x + 6)(x - 5) ≥ 0.

Умножим на -1, чтобы изменить знак первого множителя: -(x - 5)(x + 6)(x - 5) ≥ 0, или (x - 5)²(x + 6) ≤ 0.

Так как (x - 5)² ≥ 0 всегда, то неравенство выполняется, когда x + 6 ≤ 0 или x = 5.

x + 6 ≤ 0 => x ≤ -6.

Таким образом, решение: x ≤ -6 или x = 5.

б) \(\frac{-12}{4 - 8x - 5x^2} ≤ 0\)

Неравенство выполняется, когда знаменатель положителен, так как числитель отрицательный.

4 - 8x - 5x² > 0.

Умножим на -1: 5x² + 8x - 4 < 0.

Найдем корни уравнения 5x² + 8x - 4 = 0.

D = b² - 4ac = 8² - 4 ⋅ 5 ⋅ (-4) = 64 + 80 = 144.

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-8 + 12) / (2 ⋅ 5) = 4 / 10 = 2/5.

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-8 - 12) / (2 ⋅ 5) = -20 / 10 = -2.

Значит, 5x² + 8x - 4 = 5(x - 2/5)(x + 2).

Неравенство можно записать как 5(x - 2/5)(x + 2) < 0, или (x - 2/5)(x + 2) < 0.

Интервалы: (-∞, -2), (-2, 2/5), (2/5, +∞).

• x < -2 (например, x = -3): (-3 - 2/5)(-3 + 2) = (-17/5)(-1) = 17/5 > 0
• -2 < x < 2/5 (например, x = 0): (0 - 2/5)(0 + 2) = (-2/5)(2) = -4/5 < 0
• x > 2/5 (например, x = 1): (1 - 2/5)(1 + 2) = (3/5)(3) = 9/5 > 0

Таким образом, решение: -2 < x < 2/5.

Ответ:

а) x ≤ -6 или x = 5

б) -2 < x < 2/5

Ответ:

а) x ≤ -6 или x = 5; б) -2 < x < 2/5

Ответ:

а) x ≤ -6 или x = 5; б) -2 < x < 2/5