1. Постройте график функции у = х² - 4x - 5. Используя график, найти: 1) область значений функции; 2) промежуток убывания функции; 3) значения х, при которых у > 0.

Решение:

Для решения данной задачи необходимо построить график функции y = x² - 4x - 5 и на основе графика определить область значений функции, промежуток убывания и значения x, при которых y > 0.

1. Построение графика функции y = x² - 4x - 5:

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для построения графика найдем вершину параболы и несколько точек для построения.

Координаты вершины параболы (x₀, y₀) определяются формулами:

x₀ = -b / (2a), где a = 1, b = -4

x₀ = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2

y₀ = (2)² - 4 * 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9

Вершина параболы находится в точке (2, -9).

Теперь найдем несколько точек для построения графика. Возьмем значения x, близкие к вершине:

• x = 0: y = (0)² - 4 * 0 - 5 = -5
• x = 1: y = (1)² - 4 * 1 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8
• x = 3: y = (3)² - 4 * 3 - 5 = 9 - 12 - 5 = -8
• x = 4: y = (4)² - 4 * 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5
• x = 5: y = (5)² - 4 * 5 - 5 = 25 - 20 - 5 = 0
• x = -1: y = (-1)² - 4 * (-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0

Полученные точки: (0, -5), (1, -8), (3, -8), (4, -5), (5, 0), (-1, 0).

2. Анализ графика:

1) Область значений функции:

Область значений функции - это все возможные значения y. Так как вершина параболы находится в точке (2, -9) и парабола направлена вверх (a > 0), то область значений функции: y ≥ -9.

2) Промежуток убывания функции:

Функция убывает на промежутке от минус бесконечности до вершины параболы. То есть, функция убывает при x ∈ (-∞, 2].

3) Значения x, при которых y > 0:

y > 0, когда график функции находится выше оси x. Это происходит при x < -1 и x > 5.

Таким образом, y > 0 при x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, +∞).

Ответ:

1) Область значений функции: y ≥ -9

2) Промежуток убывания функции: x ∈ (-∞, 2]

3) Значения x, при которых y > 0: x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, +∞)

Ответ:

1) Область значений функции: y ≥ -9; 2) Промежуток убывания функции: x ∈ (-∞, 2]; 3) Значения x, при которых y > 0: x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, +∞)

Ответ:

1) Область значений функции: y ≥ -9; 2) Промежуток убывания функции: x ∈ (-∞, 2]; 3) Значения x, при которых y > 0: x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, +∞)