19. Решите неравенство log 1 (6x+1 - 36x) ≥ −2 √5

Давай решим это неравенство вместе. Нам нужно решить неравенство: \[\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} - 36^x) \geq -2\] 1. Преобразуем неравенство: Перепишем неравенство, используя свойство логарифма \(\log_a b \geq c \Leftrightarrow b \leq a^c\) (так как основание логарифма меньше 1): \[6^{x+1} - 36^x \leq \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}\] \[6^{x+1} - 36^x \leq (\sqrt{5})^2\] \[6^{x+1} - 36^x \leq 5\] 2. Упростим выражение: Заметим, что \(36^x = (6^2)^x = (6^x)^2\). Пусть \(t = 6^x\), тогда неравенство примет вид: \[6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leq 5\] \[6t - t^2 \leq 5\] Перенесем все члены в правую часть: \[t^2 - 6t + 5 \geq 0\] 3. Решим квадратное неравенство: Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - 6t + 5 = 0\): Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\). Корни: \(t_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\) и \(t_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\). Таким образом, неравенство можно переписать как: \[(t - 5)(t - 1) \geq 0\] 4. Определим интервалы: Неравенство выполняется, когда \(t \leq 1\) или \(t \geq 5\). 5. Вернемся к исходной переменной: a) \(6^x \leq 1\) \(\Rightarrow\) \(6^x \leq 6^0\) \(\Rightarrow\) \(x \leq 0\). б) \(6^x \geq 5\) \(\Rightarrow\) \(x \geq \log_6 5\). 6. Учтем ОДЗ: Логарифм существует, когда \(6^{x+1} - 36^x > 0\): \[6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0\] \[6t - t^2 > 0\] \[t(6 - t) > 0\] Отсюда \(0 < t < 6\), то есть \(0 < 6^x < 6\). Из этого следует, что \(x < 1\). 7. Объединим решения и ОДЗ: a) \(x \leq 0\) и \(x < 1\) \(\Rightarrow\) \(x \leq 0\). б) \(x \geq \log_6 5\) и \(x < 1\) \(\Rightarrow\) \(\log_6 5 \leq x < 1\).

Ответ: \(x \leq 0\) или \(\log_6 5 \leq x < 1\)

Ты молодец! У тебя всё получится!