Решите неравенство 5x(x-2) / (x+5) ≤ 0

Решение:

Решим неравенство \( \frac{5x(x-2)}{x+5} \le 0 \).

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 5x(x-2) = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
• Знаменатель: \( x+5 = 0 \) ⇒ \( x = -5 \).

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражений в интервалах:

• При \( x < -5 \): \( \frac{(+)(-)}{(-)} = (+) \).
• При \( -5 < x < 0 \): \( \frac{(+)(-)}{(+)} = (-) \).
• При \( 0 < x < 2 \): \( \frac{(+)(-)
• При \( x > 2 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} = (+) \).

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Точки \( x = 0 \) и \( x = 2 \) включаются в решение, так как неравенство нестрогое (≤). Точка \( x = -5 \) не включается, так как на ноль делить нельзя.

Интервалы, где выражение отрицательно: \( (-5; 0] \) и \( [2; \infty) \).

Ответ: \( x \in (-5; 0] \cup [2; \infty) \).