Найдите производную функции y=x⁴-2sinx. И вычислите ее значение при х=0

Решение:

Найдем производную функции \( y = x^4 - 2\sin x \) по правилу дифференцирования:

\( y' = (x^4)' - (2\sin x)' \)

Используем правила: \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и \( (\sin x)' = \cos x \).

\( y' = 4x^{4-1} - 2\cos x \)

\( y' = 4x^3 - 2\cos x \)

Теперь вычислим значение производной при \( x = 0 \):

\( y'(0) = 4(0)^3 - 2\cos 0 \)

Так как \( \cos 0 = 1 \), получаем:

\( y'(0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \)

\( y'(0) = 0 - 2 \)

\( y'(0) = -2 \)

Ответ: Производная функции \( y' = 4x^3 - 2\cos x \), её значение при \( x=0 \) равно -2.