2402 Решите квадратные неравенства: a) 4x² + 20x + 25 ≤ 0; 6) 2x² + x + 1 < 0; в) 3x² - 5x + 2 > 0; г) 5x² + 3x ≥ 0; д) 2х2 + 7x - 4 > 0; e) x² - 3x + 9 > 0.

Ответ:

a) \( 4x^2 + 20x + 25 \le 0 \)

• Решаем квадратное уравнение \( 4x^2 + 20x + 25 = 0 \):

\[D = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0\]

• Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

\[x = \frac{-20}{2 \cdot 4} = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5\]

• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство \( 4x^2 + 20x + 25 \le 0 \) выполняется только в точке \( x = -2.5 \).

Ответ: \( x = -2.5 \)

б) \( 2x^2 + x + 1 < 0 \)

• Решаем квадратное уравнение \( 2x^2 + x + 1 = 0 \):

\[D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7\]

• Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх и всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \( 2x^2 + x + 1 < 0 \) не имеет решений.

Ответ: нет решений

в) \( 3x^2 - 5x + 2 > 0 \)

• Решаем квадратное уравнение \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \):

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\] \[x_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх. Неравенство \( 3x^2 - 5x + 2 > 0 \) выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: \( x < \frac{2}{3} \) или \( x > 1 \)

г) \( 5x^2 + 3x \ge 0 \)

• Решаем квадратное уравнение \( 5x^2 + 3x = 0 \):

\[x(5x + 3) = 0\] \[x_1 = 0\] \[5x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{5} = -0.6\]

• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх. Неравенство \( 5x^2 + 3x \ge 0 \) выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: \( x \le -0.6 \) или \( x \ge 0 \)

д) \( 2x^2 + 7x - 4 > 0 \)

• Решаем квадратное уравнение \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \):

\[D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81\] \[x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5\] \[x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4\]

• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх. Неравенство \( 2x^2 + 7x - 4 > 0 \) выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: \( x < -4 \) или \( x > 0.5 \)

e) \( x^2 - 3x + 9 > 0 \)

• Решаем квадратное уравнение \( x^2 - 3x + 9 = 0 \):

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27\]

• Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх и всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \( x^2 - 3x + 9 > 0 \) выполняется для всех \( x \).

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

Ответ:

a) \( x = -2.5 \)

б) нет решений

в) \( x < \frac{2}{3} \) или \( x > 1 \)

г) \( x \le -0.6 \) или \( x \ge 0 \)

д) \( x < -4 \) или \( x > 0.5 \)

e) \( x \in \mathbb{R} \)