Решить систему уравнений: г) { |x| + y = 3; x + 2|y| = 4.

Решение:

Рассмотрим четыре случая, зависящие от знаков x и y.

1. Случай 1: \(x \ge 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \]
   Вычтем первое уравнение из второго: \((x + 2y) - (x + y) = 4 - 3 \Rightarrow y = 1\). Подставим \(y=1\) в первое уравнение: \(x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x \ge 0, y \ge 0\). Решение: (2, 1).
2. Случай 2: \(x < 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} -x + y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((-x + y) + (x + 2y) = 3 + 4 \Rightarrow 3y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{3}\). Подставим \(y=\frac{7}{3}\) во второе уравнение: \(x + 2(\frac{7}{3}) = 4 \Rightarrow x + \frac{14}{3} = 4 \Rightarrow x = 4 - \frac{14}{3} = \frac{12-14}{3} = -\frac{2}{3}\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x < 0, y \ge 0\). Решение: (-2/3, 7/3).
3. Случай 3: \(x \ge 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + 2(-y) = 4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} x - y = 3 \\ x - 2y = 4 \end{cases} \]
   Вычтем второе уравнение из первого: \((x - y) - (x - 2y) = 3 - 4 \Rightarrow y = -1\). Подставим \(y=-1\) в первое уравнение: \(x - (-1) = 3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x \ge 0, y < 0\). Решение: (2, -1).
4. Случай 4: \(x < 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} -x - y = 3 \\ x + 2(-y) = 4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -x - y = 3 \\ x - 2y = 4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((-x - y) + (x - 2y) = 3 + 4 \Rightarrow -3y = 7 \Rightarrow y = -\frac{7}{3}\). Подставим \(y=-\frac{7}{3}\) во второе уравнение: \(x - 2(-\frac{7}{3}) = 4 \Rightarrow x + \frac{14}{3} = 4 \Rightarrow x = 4 - \frac{14}{3} = \frac{12-14}{3} = -\frac{2}{3}\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x < 0, y < 0\). Решение: (-2/3, -7/3).

Ответ: (2, 1); (-2/3, 7/3); (2, -1); (-2/3, -7/3).