Решить систему уравнений: e) { 6|x| - 9|y| = -3; -4x + 6y = 2.

Решение:

Можно упростить первое уравнение, разделив обе части на 3: \(2|x| - 3|y| = -1\).

Теперь рассмотрим четыре случая, зависящие от знаков x и y.

1. Случай 1: \(x \ge 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   Второе уравнение можно разделить на 2: \(-2x + 3y = 1\). Теперь система:
   • \[ \begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ -2x + 3y = 1 \end{cases} \]
   Сложим эти два уравнения: \((2x - 3y) + (-2x + 3y) = -1 + 1 \Rightarrow 0 = 0\). Это означает, что уравнения линейно зависимы, и любая пара \(x, y\), удовлетворяющая одному уравнению, удовлетворяет и другому. Нам нужно найти решения, которые удовлетворяют условию \(x ≥ 0, y ≥ 0\). Из \(2x - 3y = -1  x = \frac{3y-1}{2}\). Для \(x ≥ 0\) нужно \(3y-1 ≥ 0  y ≥ \frac{1}{3}\). Таким образом, решениями в этом случае являются пары \((\frac{3y-1}{2}, y)\) при \(y ≥ \frac{1}{3}\).
2. Случай 2: \(x < 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2(-x) - 3y = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -2x - 3y = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   Второе уравнение, деленное на 2: \(-2x + 3y = 1\). Теперь система:
   • \[ \begin{cases} -2x - 3y = -1 \\ -2x + 3y = 1 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((-2x - 3y) + (-2x + 3y) = -1 + 1 \Rightarrow -4x = 0 \Rightarrow x = 0\). Но мы рассматриваем случай \(x < 0\). Следовательно, решений в этом случае нет.
3. Случай 3: \(x \ge 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x - 3(-y) = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   Второе уравнение, деленное на 2: \(-2x + 3y = 1\). Теперь система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ -2x + 3y = 1 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((2x + 3y) + (-2x + 3y) = -1 + 1 \Rightarrow 6y = 0 \Rightarrow y = 0\). Но мы рассматриваем случай \(y < 0\). Следовательно, решений в этом случае нет.
4. Случай 4: \(x < 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2(-x) - 3(-y) = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ -4x + 6y = 2 \end{cases} \]
   Второе уравнение, деленное на 2: \(-2x + 3y = 1\). Теперь система:
   • \[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ -2x + 3y = 1 \end{cases} \]
   Эти уравнения противоречат друг другу (\(-1
   eq 1\)). Решений нет.

Ответ: Решениями являются пары \(x = \frac{3y-1}{2}\) для всех \(y ≥ \frac{1}{3}\).