Решить систему уравнений: \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ \log_2 x = \log_2 3 - \log_2 y \end{cases}\)

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ \log_2 x = \log_2 3 - \log_2 y \end{cases} \]

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

Используя свойства логарифмов \( \log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N} \), получаем:

\[ \log_2 x = \log_2 \frac{3}{y} \]

Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы:

\[ x = \frac{3}{y} \]

Из этого следует, что \( xy = 3 \). Учтем, что для существования логарифмов \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Шаг 2: Подставим выражение для x в первое уравнение.

Из \( x = \frac{3}{y} \), подставим в \( x^2 + y^2 = 10 \):

\[ \left(\frac{3}{y}\right)^2 + y^2 = 10 \]

\[ \frac{9}{y^2} + y^2 = 10 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно y.

Умножим обе части на \( y^2 \) (учитывая, что \( y \neq 0 \), так как \( y > 0 \)):

\[ 9 + y^4 = 10y^2 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

\[ y^4 - 10y^2 + 9 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( z = y^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ z^2 - 10z + 9 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения для \( z \) через дискриминант:

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]

\[ z_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ z_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь вернемся к замене \( z = y^2 \):

1. \( y^2 = 9 \) \( \implies \) \( y = ± 3 \).

2. \( y^2 = 1 \) \( \implies \) \( y = ± 1 \).

Учитывая, что \( y > 0 \), мы имеем два возможных значения для \( y \): \( y = 3 \) и \( y = 1 \).

Шаг 4: Найдем соответствующие значения x.

Используем соотношение \( x = \frac{3}{y} \):

1. Если \( y = 3 \), то \( x = \frac{3}{3} = 1 \).

2. Если \( y = 1 \), то \( x = \frac{3}{1} = 3 \).

Проверим полученные пары \( (x, y) \) на соответствие условиям \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Пара \( (1, 3) \): \( 1 > 0 \) и \( 3 > 0 \). Подходит.

Пара \( (3, 1) \): \( 3 > 0 \) и \( 1 > 0 \). Подходит.

Шаг 5: Проверим полученные решения в исходной системе.

Для пары \( (1, 3) \):

1. \( x^2 + y^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \) (верно).

2. \( \log_2 1 = \log_2 3 - \log_2 3 \) \( \implies \) \( 0 = 0 \) (верно).

Для пары \( (3, 1) \):

1. \( x^2 + y^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 \) (верно).

2. \( \log_2 3 = \log_2 3 - \log_2 1 \) \( \implies \) \( \log_2 3 = \log_2 3 - 0 \) \( \implies \) \( \log_2 3 = \log_2 3 \) (верно).

Оба решения подходят.

Ответ: \( (1, 3) \) и \( (3, 1) \).