Найти площадь фигуры, ограниченной линиями -x²+9, y = 0, x = 0, x = 1

Решение:

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной функциями \( y = -x^2 + 9 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

Функция \( y = -x^2 + 9 \) — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 9). Линия \( y = 0 \) — это ось абсцисс (x-ось).

Интеграл от \( x=0 \) до \( x=1 \) для функции \( y = -x^2 + 9 \) даст площадь под кривой над осью x.

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 9) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (-x^2 + 9) dx = -\frac{x^3}{3} + 9x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 9x \right]_{0}^{1} \]

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} + 9 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 9 \cdot 0 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} + 9 \right) - (0) \]

\[ S = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \]

Ответ: \( \frac{26}{3} \).