4. Решить систему рациональных уравнений: 1 1 = 2 x+y + x-y 3 4 = 7 x+y + x-y

Ответ: x = 1/2, y = -1/10

Пошаговое решение:

1. Введем переменные a = 1 / (x + y) и b = 1 / (x - y).
2. Система уравнений примет вид:
3. a + b = 2
4. 3a + 4b = 7
5. Решим эту систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на -3:
6. -3a - 3b = -6
7. Сложим это уравнение со вторым уравнением:
8. 3a + 4b - 3a - 3b = 7 - 6
9. b = 1
10. Подставим b = 1 в первое уравнение: a + 1 = 2
11. a = 1
12. Теперь у нас есть a = 1 и b = 1. Вернемся к исходным переменным:
13. 1 / (x + y) = 1, следовательно, x + y = 1
14. 1 / (x - y) = 1, следовательно, x - y = 1
15. Сложим два уравнения: (x + y) + (x - y) = 1 + 1
16. 2x = 2
17. x = 1
18. Подставим x = 1 в уравнение x + y = 1: 1 + y = 1
19. y = 0
20. Проверим решение: Если x = 1, y = 0, то x + y = 1 и x - y = 1
21. Подставляем в исходные уравнения:
22. 1 / 1 + 1 / 1 = 1 + 1 = 2 (верно)
23. 3 / 1 + 4 / 1 = 3 + 4 = 7 (верно)

Другое решение:

1. 1/(x+y) + 1/(x-y) = 2 (1)
2. 3/(x+y) + 4/(x-y) = 7 (2)
3. Пусть a = 1/(x+y), b = 1/(x-y).
4. a + b = 2
5. 3a + 4b = 7
6. Выразим a из первого уравнения: a = 2 - b
7. Подставим во второе уравнение: 3(2 - b) + 4b = 7
8. 6 - 3b + 4b = 7
9. b = 1
10. a = 2 - 1 = 1
11. 1/(x+y) = 1 => x + y = 1 (3)
12. 1/(x-y) = 1 => x - y = 1 (4)
13. Сложим (3) и (4): 2x = 2 => x = 1
14. Из (3): y = 1 - x = 1 - 1 = 0

Ответ: x = 1, y = 0