174 Решить неравенство: 1) √x²-3x+2 > x +3; 2) √2x²-7x-4>-x-1.

174 Решить неравенство:

1) $$√{x²-3x+2} > x +3$$

ОДЗ: $$x²-3x+2 ≥ 0$$

$$x²-3x+2 = 0$$ при $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$

Тогда $$x ∈ (-∞;1] ∪ [2;+∞)$$

При $$x+3 < 0$$ или $$x < -3$$ неравенство верно, так как левая часть всегда неотрицательна, а правая отрицательна. С учетом ОДЗ, $$x ∈ (-∞;-3)$$

При $$x+3 ≥ 0$$ или $$x ≥ -3$$ возведем обе части неравенства в квадрат:

$${x²-3x+2} > (x +3)²$$

$${x²-3x+2} > x² + 6x + 9$$

$$0 > 9x + 7$$

$$x < -\frac{7}{9}$$

Учитывая, что $$x ≥ -3$$ и $$x < -\frac{7}{9}$$ и ОДЗ, получаем $$x ∈ [-3;-1] ∪ [2;-\frac{7}{9})$$ - нет решений, так как $$-\frac{7}{9} = -0,777(7)$$.

Тогда решением неравенства является $$x ∈ (-∞;-3)$$.

2) $$√{2x²-7x-4}>-x-\frac{1}{4}$$

ОДЗ: $$2x²-7x-4 ≥ 0$$

Решим квадратное уравнение $$2x²-7x-4 = 0$$

$$D = 49 + 32 = 81$$

$$x_1 = \frac{7+9}{4} = 4$$

$$x_2 = \frac{7-9}{4} = -\frac{1}{2}$$

Тогда $$x ∈ (-∞;-\frac{1}{2}]∪[4;+∞)$$

При $$-x-\frac{1}{4} < 0$$ или $$x > -\frac{1}{4}$$ неравенство верно, так как левая часть всегда неотрицательна, а правая отрицательна. С учетом ОДЗ, $$x ∈ (-\frac{1}{4};-\frac{1}{2}]∪[4;+∞)$$.

При $$-x-\frac{1}{4} ≥ 0$$ или $$x ≤ -\frac{1}{4}$$ возведем обе части в квадрат:

$$2x²-7x-4 > (-x-\frac{1}{4})²$$

$$2x²-7x-4 > x² + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$$

$$x² - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0$$

$$D = (\frac{15}{2})² + 4*\frac{65}{16} = \frac{225}{4} + \frac{65}{4} = \frac{290}{4} = \frac{145}{2}$$

$$x_{1,2} = \frac{\frac{15}{2} ± √\frac{145}{2}}{2} = \frac{15 ± 2√290}{4}$$

Тогда $$x_1 = \frac{15 - 2√290}{4}$$ ≈ -1,24 и $$x_2 = \frac{15 + 2√290}{4}$$ ≈ 8,74

Тогда решением будет $$(-∞;\frac{15 - 2√290}{4})∪(\frac{15 + 2√290}{4};+∞)$$

Решением, с учетом ОДЗ и $$x ≤ -\frac{1}{4}$$ будет $$x ∈ (-∞;\frac{15 - 2√290}{4}]$$

Решением неравенства является: $$x ∈ (-∞;\frac{15 - 2√290}{4}] ∪ (-\frac{1}{4};-\frac{1}{2}]∪[4;+∞)$$.

Ответ: 1) $$x ∈ (-∞;-3)$$; 2) $$x ∈ (-∞;\frac{15 - 2√290}{4}] ∪ (-\frac{1}{4};-\frac{1}{2}]∪[4;+∞)$$.