173 1) √x ≤ 2x; 3) √x ≥ 2x-1;

173

1) $$√x ≤ 2x$$

ОДЗ: $$x ≥ 0$$.

Возведем обе части в квадрат, так как обе части неотрицательны:

$$x ≤ 4x^2$$

$$4x^2 - x ≥ 0$$

$$x(4x - 1) ≥ 0$$

Решим методом интервалов:

$$x = 0$$, $$x = \frac{1}{4}$$

Определим знаки на интервалах: $$(−∞; 0)$$, $$(0; \frac{1}{4})$$, $$(\frac{1}{4}; +∞)$$.

На интервале $$(−∞; 0)$$ знак +, на интервале $$(0; \frac{1}{4})$$ знак -, на интервале $$(\frac{1}{4}; +∞)$$ знак +.

С учетом ОДЗ, решением является $$x = 0$$ или $$x ≥ \frac{1}{4}$$, то есть $$x ∈ \{0\} ∪ [\frac{1}{4}; +∞)$$.

3) $$√x ≥ 2x - 1$$

ОДЗ: $$x ≥ 0$$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $$2x - 1 < 0$$, то есть $$x < \frac{1}{2}$$, то неравенство выполняется для всех $$x$$ из ОДЗ, удовлетворяющих условию $$x < \frac{1}{2}$$. Таким образом, $$0 ≤ x < \frac{1}{2}$$.

б) Если $$2x - 1 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ \frac{1}{2}$$, то возведем обе части неравенства в квадрат:

$$x ≥ (2x - 1)^2$$

$$x ≥ 4x^2 - 4x + 1$$

$$4x^2 - 5x + 1 ≤ 0$$

$$(x - 1)(4x - 1) ≤ 0$$

Решим методом интервалов:

$$x = 1$$, $$x = \frac{1}{4}$$

Определим знаки на интервалах: $$(−∞; \frac{1}{4})$$, $$(\frac{1}{4}; 1)$$, $$(1; +∞)$$.

На интервале $$(−∞; \frac{1}{4})$$ знак +, на интервале $$(\frac{1}{4}; 1)$$ знак -, на интервале $$(1; +∞)$$ знак +.

Таким образом, $$\frac{1}{4} ≤ x ≤ 1$$. С учетом условия $$x ≥ \frac{1}{2}$$, получаем $$(\frac{1}{2} ≤ x ≤ 1)$$.

Объединяя оба случая, получаем решение $$[0; 1]$$.

Ответ: 1) $$x ∈ \{0\} ∪ [\frac{1}{4}; +∞)$$; 3) $$x ∈ [0; 1]$$.