Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика172 Решить графически неравенство (172—173). 1) √x ≥ x: 2) √x < x; 3) √x > x-2; 4) √x ≤ x-2.
Ответ:
172 Решить графически неравенство (172—173).
1) $$√x ≥ x$$
ОДЗ: $$x ≥ 0$$.
Возведем обе части неравенства в квадрат, так как обе части неотрицательны:
$$x ≥ x^2$$
$$x^2 - x ≤ 0$$
$$x(x - 1) ≤ 0$$
Решим методом интервалов:
$$x = 0$$, $$x = 1$$
Определим знаки на интервалах: $$(−∞; 0)$$, $$(0; 1)$$, $$(1; +∞)$$.
На интервале $$(−∞; 0)$$ знак +, на интервале $$(0; 1)$$ знак -, на интервале $$(1; +∞)$$ знак +.
С учетом ОДЗ, решением является отрезок $$[0; 1]$$.
2) $$√x < x$$
ОДЗ: $$x ≥ 0$$.
Возведем обе части неравенства в квадрат, так как обе части неотрицательны:
$$x < x^2$$
$$x^2 - x > 0$$
$$x(x - 1) > 0$$
Решим методом интервалов:
$$x = 0$$, $$x = 1$$
Определим знаки на интервалах: $$(−∞; 0)$$, $$(0; 1)$$, $$(1; +∞)$$.
На интервале $$(−∞; 0)$$ знак +, на интервале $$(0; 1)$$ знак -, на интервале $$(1; +∞)$$ знак +.
С учетом ОДЗ, решением является интервал $$(1; +∞)$$.
3) $$√x > x - 2$$
ОДЗ: $$x ≥ 0$$.
Рассмотрим два случая:
а) Если $$x - 2 < 0$$, то есть $$x < 2$$, то неравенство выполняется для всех $$x$$ из ОДЗ, удовлетворяющих условию $$x < 2$$. Таким образом, $$0 ≤ x < 2$$.
б) Если $$x - 2 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ 2$$, то возведем обе части неравенства в квадрат:
$$x > (x - 2)^2$$
$$x > x^2 - 4x + 4$$
$$x^2 - 5x + 4 < 0$$
$$(x - 1)(x - 4) < 0$$
Решим методом интервалов:
$$x = 1$$, $$x = 4$$
Определим знаки на интервалах: $$(−∞; 1)$$, $$(1; 4)$$, $$(4; +∞)$$.
На интервале $$(−∞; 1)$$ знак +, на интервале $$(1; 4)$$ знак -, на интервале $$(4; +∞)$$ знак +.
Таким образом, $$1 < x < 4$$. С учетом условия $$x ≥ 2$$, получаем $$2 ≤ x < 4$$.
Объединяя оба случая, получаем решение $$[0; 4)$$.
4) $$√x ≤ x - 2$$
ОДЗ: $$x ≥ 0$$.
Неравенство имеет смысл, если $$x - 2 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ 2$$.
Возведем обе части в квадрат:
$$x ≤ (x - 2)^2$$
$$x ≤ x^2 - 4x + 4$$
$$x^2 - 5x + 4 ≥ 0$$
$$(x - 1)(x - 4) ≥ 0$$
Решим методом интервалов:
$$x = 1$$, $$x = 4$$
Определим знаки на интервалах: $$(−∞; 1)$$, $$(1; 4)$$, $$(4; +∞)$$.
На интервале $$(−∞; 1)$$ знак +, на интервале $$(1; 4)$$ знак -, на интервале $$(4; +∞)$$ знак +.
Таким образом, $$x ≤ 1$$ или $$x ≥ 4$$.
С учетом условия $$x ≥ 2$$, решением является $$x ≥ 4$$, то есть $$[4; +∞)$$.
Ответ: 1) $$x ∈ [0; 1]$$; 2) $$x ∈ (1; +∞)$$; 3) $$x ∈ [0; 4)$$; 4) $$x ∈ [4; +∞)$$.
Похожие
