8.

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \frac{1}{9}x(x-4)^3 \) используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = \frac{1}{9}x \) и \( v = (x-4)^3 \).

Находим производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = \left( \frac{1}{9}x \right)' = \frac{1}{9} \)
• \( v' = ((x-4)^3)' = 3(x-4)^2 (x-4)' = 3(x-4)^2 \)

Подставляем в формулу производной произведения:

\[ y' = \frac{1}{9}(x-4)^3 + \frac{1}{9}x \cdot 3(x-4)^2 \]

Выносим общий множитель \( \frac{1}{9}(x-4)^2 \):

\[ y' = \frac{1}{9}(x-4)^2 [ (x-4) + 3x ] \]

\[ y' = \frac{1}{9}(x-4)^2 [ 4x - 4 ] \]

\[ y' = \frac{4}{9}(x-4)^2 (x-1) \]

Ответ: \( y' = \frac{4}{9}(x-4)^2 (x-1) \).