Разность квадратов корней уравнения x² – 8x + c = 0 равна 32. Найдите c.

Краткое пояснение:Чтобы найти c, воспользуемся теоремой Виета и условием про разность квадратов корней.

Ответ:

1. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения x² – 8x + c = 0. По теореме Виета:
   \[x_1 + x_2 = 8\]\[x_1 \cdot x_2 = c\]
2. Дано, что разность квадратов корней равна 32:
   \[x_1^2 - x_2^2 = 32\]
   Разложим разность квадратов на множители:
   \[(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 32\]
3. Подставим известное значение суммы корней:
   \[8(x_1 - x_2) = 32\]\[x_1 - x_2 = 4\]
4. Теперь у нас есть система уравнений:
   \[\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 - x_2 = 4 \end{cases}\]
   Сложим эти уравнения, чтобы найти x₁:
   \[2x_1 = 12\]\[x_1 = 6\]
5. Подставим x₁ в первое уравнение, чтобы найти x₂:
   \[6 + x_2 = 8\]\[x_2 = 2\]
6. Теперь найдем c, используя произведение корней:
   \[c = x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot 2 = 12\]

Ответ: 12

Проверка за 10 секунд: Находим корни, используя разность квадратов и теорему Виета, затем вычисляем c как произведение корней.

Доп. профит: Уровень эксперт. Этот тип задач требует хорошего знания теоремы Виета и умения применять алгебраические преобразования для решения систем уравнений.