1018. Докажите, что при любом натуральном и значение выражения: a) (n + 21)³ - (n + 4)3 кратно 17; б) (n + 48)3 (n + 7)3 кратно 41; в) (n + 3)³ - (п - 3)³ кратно 18.

Решение:

a) (n + 21)³ - (n + 4)³

• Разложим разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• (n + 21)³ - (n + 4)³ = (n + 21 - (n + 4))((n + 21)² + (n + 21)(n + 4) + (n + 4)²)
• = (17)((n + 21)² + (n + 21)(n + 4) + (n + 4)²)
• Так как первый множитель равен 17, все выражение кратно 17.

б) (n + 48)³ - (n + 7)³

• Разложим разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• (n + 48)³ - (n + 7)³ = (n + 48 - (n + 7))((n + 48)² + (n + 48)(n + 7) + (n + 7)²)
• = (41)((n + 48)² + (n + 48)(n + 7) + (n + 7)²)
• Так как первый множитель равен 41, все выражение кратно 41.

в) (n + 3)³ - (n - 3)³

• Разложим разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• (n + 3)³ - (n - 3)³ = (n + 3 - (n - 3))((n + 3)² + (n + 3)(n - 3) + (n - 3)²)
• = (6)((n + 3)² + (n + 3)(n - 3) + (n - 3)²)
• Упростим выражение во второй скобке: (n² + 6n + 9) + (n² - 9) + (n² - 6n + 9) = 3n² + 9
• = 6(3n² + 9) = 18(n² + 3)
• Так как первый множитель равен 18, все выражение кратно 18.