5. Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде.

Плот проплыл 28 км со скоростью течения 4 км/ч за $$\frac{28}{4} = 7$$ часов.

Лодка была в пути 7 - 1 = 6 часов.

По течению лодка прошла 45 км за $$\frac{45}{x+4}$$ часов.

Против течения лодка прошла 45 км за $$\frac{45}{x-4}$$ часов.

Составим уравнение:

$$\frac{45}{x+4} + \frac{45}{x-4} = 6$$ $$\frac{45(x-4) + 45(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 6$$ $$\frac{45x - 180 + 45x + 180}{x^2 - 16} = 6$$ $$\frac{90x}{x^2 - 16} = 6$$ $$90x = 6(x^2 - 16)$$ $$90x = 6x^2 - 96$$ $$6x^2 - 90x - 96 = 0$$ $$x^2 - 15x - 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч