1. Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть x км/ч — собственная скорость баржи.

По течению баржа прошла 48 км за $$\frac{48}{x+5}$$ часов.

Против течения баржа прошла 42 км за $$\frac{42}{x-5}$$ часов.

Всего затрачено 5 часов. Составим уравнение:

$$\frac{48}{x+5} + \frac{42}{x-5} = 5$$

Решим уравнение:

$$\frac{48(x-5) + 42(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 5$$ $$\frac{48x - 240 + 42x + 210}{x^2 - 25} = 5$$ $$\frac{90x - 30}{x^2 - 25} = 5$$ $$90x - 30 = 5(x^2 - 25)$$ $$90x - 30 = 5x^2 - 125$$ $$5x^2 - 90x - 95 = 0$$ $$x^2 - 18x - 19 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 324 + 76 = 400$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{400}}{2} = \frac{18 + 20}{2} = \frac{38}{2} = 19$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{400}}{2} = \frac{18 - 20}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость баржи равна 19 км/ч.

Ответ: 19 км/ч