Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.

Решение:

3. Расчет характеристик интервального ряда распределения

Используем данные из таблицы, построенной в п.1.

Средняя арифметическая \( \bar{x} \):

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot y_i)}{N} \]

Из таблицы: \( \sum (x_i \cdot y_i) = -8 - 9 + 0 + 5 + 4 = -8 \)

\( N = 30 \)

\[ \bar{x} = \frac{-8}{30} \approx -0.27 \text{ (условная средняя)} \]

Чтобы найти истинную среднюю арифметическую, прибавим к условной средней нижнюю границу первого интервала (15) минус половина ширины интервала (4):

\[ \bar{x}_{ист} = \bar{x}_{усл} + x_{начало} + \frac{h}{2} \text{ (если условная варианта начинается с -2)} \]

Более корректно использовать среднюю арифметическую с учетом условных вариантов, где \( y_i \) — условные варианты:

\[ \bar{x}_{ист} = \bar{x}_{условная} + x_0 \]

Или, если используется метод моментов с условной вариантой, то \( \bar{x} = x_{сер} + h \cdot \bar{y} \), где \( x_{сер} \) — середина первого интервала, \( \bar{y} \) — средняя условная варианта.

Давайте пересчитаем среднюю арифметическую, используя формулу для интервального ряда, где \( x_i \) — середина интервала, \( f_i \) — частота:

\( x_1 = 19, f_1 = 4 \)

\( x_2 = 27, f_2 = 9 \)

\( x_3 = 35, f_3 = 10 \)

\( x_4 = 43, f_4 = 5 \)

\( x_5 = 51, f_5 = 2 \)

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N} = \frac{(19 \cdot 4) + (27 \cdot 9) + (35 \cdot 10) + (43 \cdot 5) + (51 \cdot 2)}{30} \]

\[ \bar{x} = \frac{76 + 243 + 350 + 215 + 102}{30} = \frac{986}{30} \approx 32.87 \text{ млн. руб.} \]

Среднее квадратическое отклонение \( \sigma \):

Сначала найдем сумму квадратов отклонений:

\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot f_i \]

Используем формулу через условные варианты для упрощения:

\[ \sigma^2 = h^2 \cdot \left( \frac{\sum (y_i^2 \cdot f_i)}{N} - \left( \frac{\sum (y_i \cdot f_i)}{N} \right)^2 \right) \]

Из таблицы в п.1: \( y_i \cdot f_i \) (с учетом правильных частот):

• \( y_1=-2, f_1=4 \Rightarrow -8 \)
• \( y_2=-1, f_2=9 \Rightarrow -9 \)
• \( y_3=0, f_3=10 \Rightarrow 0 \)
• \( y_4=1, f_4=5 \Rightarrow 5 \)
• \( y_5=2, f_5=2 \Rightarrow 4 \)
• \( x = -0.27 \)

\( y_i^2 y f_i \):

• \( (-2)^2 \cdot 4 = 16 \)
• \( (-1)^2 \cdot 9 = 9 \)
• \( 0^2 \cdot 10 = 0 \)
• \( 1^2 \cdot 5 = 5 \)
• \( 2^2 \cdot 2 = 8 \)

\( y_i^2 y f_i = 16 + 9 + 0 + 5 + 8 = 38 \)

\( y_i y f_i = -8 - 9 + 0 + 5 + 4 = -8 \)

\[ \sigma^2 = 8^2 \cdot \left( \frac{38}{30} - \left( \frac{-8}{30} \right)^2 \right) = 64 \cdot \left( 1.2667 - (0.2667)^2 \right) \]

\[ \sigma^2 = 64 \cdot (1.2667 - 0.0711) = 64 \cdot 1.1956 \approx 76.5184 \]

\[ \sigma = \sqrt{76.5184} \approx 8.75 \text{ млн. руб.} \]

Коэффициент вариации \( V \):

\[ V = \frac{\sigma}{\bar{x}_{ист}} \cdot 100\% \]

\[ V = \frac{8.75}{32.87} \cdot 100\% \approx 26.62 \% \]

Мода (Mo) и Медиана (Me):

Рассчитаны в п.2: \( Mo \approx 32.33 \text{ млн. руб.} \), \( Me = 32.6 \text{ млн. руб.} \).

Ответ: Средняя арифметическая ≈ 32.87 млн. руб., Среднее квадратическое отклонение ≈ 8.75 млн. руб., Коэффициент вариации ≈ 26.62%, Мода ≈ 32.33 млн. руб., Медиана = 32.6 млн. руб.