16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$4\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, $$r$$ - радиус вписанной окружности, и $$a$$ - сторона квадрата. Диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому: $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Сторона квадрата равна $$a = R\frac{2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$$. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, поэтому: $$r = \frac{a}{2}$$ Подставим $$a = R\sqrt{2}$$: $$r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$ Нам дано, что $$R = 4\sqrt{2}$$. Тогда: $$r = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$$. Ответ: 4