Прямая касается окружности с центром О в точке К. На касательной по разные стороны отметили точки N и Т, такие, что ∠ONK = ∠OTK. Найдите ∠NOK, если ∠TOK = 45°.

Решение:

Так как прямая является касательной к окружности в точке \( K \), то радиус \( OK \) перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OKN = \angle OKT = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ONK \) и \( \triangle OTK \).

У них:

• \( OK \) — общая сторона.
• \( \angle OKN = \angle OKT = 90^{\circ} \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
• \( \angle ONK = \angle OTK \) (по условию).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу, \( \triangle ONK = \triangle OTK \).

Из равенства треугольников следует, что \( ON = OT \) и \( \angle NOK = \angle TOK \).

По условию, \( \angle TOK = 45^{\circ} \), следовательно, \( \angle NOK = 45^{\circ} \).

Ответ: 45°.